Facoltà di Scienze M.F.N., Università di Cagliari
Primo scritto parziale del 2. 3. 1999: Analisi Matematica (1), CL in Fisica

Cognome, nome e Corso di Laurea/Diploma: ...........................................................Matricola:..............

1. Numeri complessi

Nel campo complesso:
a) Risolvere l'equazione z6 = 64 e rappresentarne graficamente le soluzioni
b) Risolvere l'equazione $2z^2 - i \sqrt{2}z = -\frac{3}{4}$ e rappresentarne graficamente le soluzioni
c) Risolvere l'equazione z6 = - i|z2|



2. Topologia della retta.

Determinare derivato, frontiera e chiusura dei seguenti insiemi, spiegando anche se si tratta di aperti, chiusi, non aperti, non chiusi.
a) $ A = \bf {Q} \cap [1, e)$
b) $ A = \left\{\displaystyle x= \frac{1 - \cos (\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}} , n \in {\bf N} \right\} \cup (\frac{1}{2},e]$
c) $ A = \left\{x \in {I\!\!R}: \vert x+3\vert < 2 \right\} \cap (-\frac{27}{5}, -2]$



3. Limiti.

a) Sia $a_n = \displaystyle(-1)^n \cos(\sqrt{n^3+2} - \sqrt{n^3+1}) (1 - {\mbox{tg}}\,(\sqrt{n^2+5}-\sqrt{n^2+1}))^{n^\lambda}$. Al variare del parametro $\lambda \in {I\!\!R}$ determinare l'insieme C dove la successione converge e l'insieme L dove la successione è limitata
b) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \frac{{(\sin^3\sqrt{x}}) (1-\cos^2\sqrt{x})(1-e^{\sqrt{x}}) +ex^3}{x^3}$
c) Calcolare e poi dimostrare l'esistenza del seguente limite utilizzando la DEFINIZIONE:

\begin{displaymath}\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+\cos x)\sin^2 (\sqrt{x})}{x}\end{displaymath}